JUEGOS DE INGENIO DEL CLUB MENSA
(ENUNCIADOS 141 a 145)
 
Cada enunciado viene acompañado de su correspondiente resolución. Se aconseja evitar consultar ésta de buenas a primeras pues, de obrar así, lo que se ejercita es el botón del ratón y no la mente. El número de estrellas indica la dificultad del problema.
 
Problema 141 Siete primos equidistantes. ****
Problema 142 El dado casquivano. ***
Problema 143 Números ordenados en la Lotería Primitiva. **
Problema 144 Dígitos repetidos en la sucesión de potencias de 2. ****
Problema 145 El Nim ****
Enunciado 141: Siete primos equidistantes.
En toda sucesión del tipo a + kb (a primo con b; k=1,2,3,…) se hallan infinitos primos. Pero, claro, la mayoría de los términos de la sucesión son compuestos. Se nos ocurre preguntar si existirán largas series de primos consecutivos correspondientes a valores consecutivos de k. En otras palabras, primos consecutivos situados en progresión aritmética.

Para valores bajos la respuesta es obvia. Por ejemplo, una primera serie para k = (1,2,3) es 3,5,7. Los tres son primos. Para k=(1,2,3,4,5) aparece a primera vista otra sucesión próxima: 5,11,17,23,29, pero éstos no son primos consecutivos.Las series van escaseando a medida que aumenta k.

Hasta hace poco el récord estaba en k=(1,2,3,4,5,6) y fue hallada por Lander y Parkin. Recientemente Harvey Dubner ha hallado una mamotrética sucesión para k=(1,2,3,4,5,6,7). Los detalles del hallazgo pueden verse en la dirección electrónica
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Mathematical_games.html. Es fácil probar que la diferencia menor posible es 210. El problema realmente se descompone en otros dos:
  • Hallar 7 primos con la diferencia común 210.
  • Hallar 1254 números entre el primero y el último primo tales que sean todos compuestos excepto los indicados situados en el intervalo.
Autor: Josep María Albaigès.
Publicado en: CARROLLIA-55. Diciembre de 1997
Dificultad: ****
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Enunciado 142: El dado casquivano.
Lanzamos un dado y nos preguntamos por la probabilidad de que, antes de salir el 6, hayan salido todos los números 1, 2, 3, 4 y 5 en cualquier orden, con o sin repetición, es decir, una secuencia como ésta: 334511126 sería favorable
Autor: Mariano Nieto.
Publicado en: CARROLLIA-57. Junio de 1998.
Dificultad: ***
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Enunciado 143: Números ordenados en la Lotería Primitiva.
En los sorteos de la lotería primitiva los seis números no salen del bombo en general por orden, pero ordenados nos los presentan en la TV y la prensa. ¿Es posible que en alguna ocasión hayan salido precisamente por el orden en que son expuestos?

[Nota: La Lotería Primitiva o Lotto, consiste en la extracción de seis números de un bombo que contiene 49 bolas, numeradas sucesivamente del 1 al 49]

Autor: Josep María Albaigés.
Publicado en: CARROLLIA-57. Junio de 1998.
Dificultad: **
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Enunciado 144: Dígitos repetidos en la sucesión de potencias de 2.
Considerar la sucesión de la forma 2n para n=0,1,2,3,..., es decir: 1, 2, 4, 8 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, etc. Si miramos al primer dígito de la izquierda de los números que aparecen en esa sucesión veremos que el 7 aparece por primera vez para n=46 (246 =70368744177664), mientras que para entonces el 8 ya ha aparecido varias veces.
¿Significa eso que el 8 aparecerá a la larga con más frecuencia que el 7 como dígito de la izquierda de 2n?
La sorprendente respuesta es que no, de hecho a la larga el 7 aparece con una frecuencia algo superior a la del 8. El problema que propongo consiste en averiguar con qué frecuencia relativa aparece exactamente cada uno de los dígitos 1 a 9 a la izquierda del número 2n.

Como pista diré que si t es un número irracional, entonces la sucesión t, 2 t, 3 t,..., n t,... está uniformemente distribuida módulo 1, es decir, las partes decimales de esos números caen en cada subintervalo de [0,1) con una frecuencia relativa proporcional a la longitud del subintervalo. También se sabe que el logaritmo decimal de 2 es irracional, y por tanto... ya no digo más.

Los resultados se pueden extender fácilmente a sucesiones cualesquiera de la forma an (siempre que log a sea irracional), y a bases distintas de la decimal. Por último estúdiese qué pasa con bloques de dígitos, por ejemplo, ¿con qué frecuencia relativa aparece el bloque 10298 a la izquierda del número 2n? Dicho de otra manera, si entre los números 1, 2, 4, 8,..., 2N, hay F(N) que empiezan por 10298..., ¿a qué valor tiende F(N)/N cuando N tiende a infinito?

Autor: Miguel Angel Lerma.
Publicado en: CARROLLIA-58. Septiembre de 1998.
Dificultad: ****
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Enunciado 145: El Nim
El último ejemplar del American Mathematical Monthly describe un interesante juego inspirado en el Nim. En forma algo simplificada consiste en lo siguiente. Se apilan una serie de fichas en varios montones dispuestos en una hilera de izquierda a derecha. A continuación  dos jugadores, por turno, eligen un montón, toman de él entre una y tres fichas, y añaden las fichas que quieran (o posiblemente ninguna) en los montones que deseen de entre los situados a la derecha del montón elegido. Por ejemplo, supongamos que inicialmente hay cuatro montones con 5, 3, 6 y 2 fichas respectivamente, contadas de izquierda a derecha. Una jugada podría consistir, digamos, en tomar dos fichas del segundo montón y añadir 24 fichas al tercero y un trillón de fichas al cuarto montón, con locual los montones pasarían a tener 5, 1, 30 y 1 trillón 2 fichas respectivamente. Suponemos que el número de fichas disponible es ilimitado, de modo que siempre es posible poner más fichas en un montón si se desea. Gana el jugador que toma la última ficha. 1. Es obvio que (mientras haya al menos dos columnas de fichas) cualquiera de los jugadores puede prolongar el juego tanto como quiera. Si uno de los jugadores quiere que el juego se prolongue al menos un millón de jugadas le bastara añadir tres millones de fichas en cualquiera de los montones disponibles. Pero ¿es posible prolongarlo  indefinidamente?  ¿Es posible jugar de modo que el juego dure para siempre y no termine nunca? La sorprendente respuesta es que no:  el juego puede prolongarse tanto como se quiera, pero no hasta el infinito. El juego tiene que terminar tras un número arbitrariamente grande, pero finito de jugadas.
Demuéstrese.

2. Puesto que el juego es finito debe de haber una estrategia ganadora para alguno de los jugadores; es decir, uno de los jugadores puede jugar de una manera tal que se asegure la victoria. Describir dicha estrategia ganadora.

3. La generalización consistente en tomar entre 1 y K fichas en vez de entre 1 y 3 es inmediata, pero supongamos ahora que los jugadores pueden tomar tantas fichas como quieran de la columna elegida, sin limite preestablecido. Obviamente el juego aún será finito, pero  ¿en qué cambian las conclusiones anteriores sobre la posibilidad de prolongar el juego indefinidamente? ¿Cuál es la nueva estrategia ganadora?
Autor: Miguel Angel Lerma.
Publicado en: CARROLLIA-60. Marzo de 1999.
Dificultad: ****
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