JUEGOS DE INGENIO DEL CLUB MENSA
SOLUCIONES 001 a 005
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Solución
001: Dos números consecutivos en la Lotería Primitiva
Por: Miguel Angel Lerma |
La solución más sencilla
pasa por calcular el número de combinaciones en las que no
hay números consecutivos y restarlo luego del total.
Consideremos los dos conjuntos siguientes:
C1 = Combinaciones de 6 números del 1 al 49 tales que entre
ellos no hay dos consecutivos.
C2 = Combinaciones cualesquiera de números del 1 al 44.
Ambos conjuntos tienen igual número de elementos, dado que
existe entre ellos la siguiente correspondencia biunívoca:
(a,b,c,d,e,f) <-> (a,b-1,c-2,d-3,e-4,f-5)
dónde a,b,c,d,e,f son números entre 1 y 49 tales que
no hay entre ellos dos consecutivos. Por ejemplo, la combinación
(1,5,7,20,35,49) de C1 se correspondería con la (1,4,5,17,31,44)
de C2. El número de C2 es el combinacional de 44 sobre 6
= 7.059.052. Puesto que C1 y C2 tienen el mismo número de
elementos Card(C1)=Card(C2)=7.059.052.
La cantidad total de combinaciones de la Lotería Primitiva
es el combinacional de 49 sobre 6 = 13.983.816.
Luego, el número de tales combinaciones en las que no hay
dos elementos consecutivos es la diferencia: 13.983.816 - 7.059.052
= 6.924.764
La probabilidad de que salgan dos números consecutivos cualesquiera
en un sorteo es, en consecuencia 49,52%.
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Solución
002: Un criptograma sencillo
Por: No especificado |
Los símbolos son: M M X C V I I
I .
La suma está expresada en numeración romana. Así:
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M |
I |
L |
|
|
|
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1 |
0 |
4 |
9 |
+ |
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M |
I |
L |
|
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|
+ |
1 |
0 |
4 |
9 |
_ |
_ |
_ |
_ |
_ |
_ |
_ |
_ |
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_ |
_ |
_ |
_ |
_ |
M |
M |
X |
C |
V |
I |
I |
I |
|
|
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|
2 |
0 |
9 |
8 |
Entre los bloqueos conceptuales se encuentra el de falso hecho
admitido, por ello para la resolución de problemas no
hay nunca que dar por sentado más que lo que específicamente
se exprese en el enunciado. En este caso, admitir sin más,
que los símbolos expresan dígitos, cierra el camino
hacia la solución.
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Solución
003: Las obras desvían la gravedad
Por: Josep María Albaigès. |
La aceleración de la gravedad g
vale 9,81 m/s².
g = GM/R² = 9.81 m/s²
siendo G la constante de gravitación universal, M la masa de la Tierra
y R su radio.
El peso de un cuerpo en la superficie terrestre es la composición
de las atracciones sobre él de todos los átomos de
la Tierra, y equivale a la que ejercería la masa de ésta
concentrada en su centro. El hueco de la excavación supone
introducir en ese conjunto una asimetría substractiva, cuyo
resultado neto es lógicamente una repulsión del mismo
valor que la atracción gravitatoria que ejercería
el volumen de tierras del hueco.
Se puede asimilar también ésta, bastante aproximadamente,
a la que ejercería una masa equivalente contentrada en el
centro de gravedad de la excavación, o sea:
g' = Gm'/r'²
Donde las respectivas masa y distancia de acción valen:
m' = 50.50.12.2000 = 6.107 kg
r' = (25² + 6²)½ = 25,71 m
El cociente entre ambas fuerzas vale:
g' 6.107.(6,37.106)²
- = -------------------
g 6.1024.(25,71)²
g'/g = 6,14*10-7
La componente horizontal de esa fuerza vale:
g'x /g = 6,14.10-7 (25/25,71) = 5,97 .10-7
Este es el ángulo que se desviará la plomada de la vertical.
En una distancia de 12 metros, equivale a:
x = 12.5,97.10-7 m = 7,16.10-6 m = 0,00716 mm
Esta desviación es ciertamente inapreciable, pero no lo sería
tanto en el caso de una gran excavación, como las de algunas
explotacoines metalúrgicas a cielo abierto en Chile o Sudáfrica,
en que algunas de las dimensiones anteriores pueden ser de kilómetros.
Para un hueco de 500*500*120 m, la desviación de la plomada
en el fondo sería de ¡0,7 mm!, claramente perceptible.
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Solución
004: Una ecuación curiosa.
Por: A. Cebrián. |
Puesto que la diferencia es positiva se
cumple que x > y. Procediendo al cambio de variable x = a+y la expresión
queda:
2a+y - 3y = 1 => 2a 2y - 3y = 1 => 2a(10/5)y - 3y = 1
=> 2 a 10 y = 15 y + 5 y (I)
El primer miembro de (I) termina en "y" ceros. Vamos a
ver en cuantos ceros termina el segundo miembro. Obtenemos las primeras
potencias de 15 y 5.
y |
15y |
5y |
La suma 15y + 5y termina en "y" ceros |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
5 |
5 |
1 |
2 |
225 |
25 |
1 |
3 |
3375 |
125 |
2 |
4 |
50625 |
625 |
1 |
5 |
759375 |
3125 |
2 |
Si nos fijamos en las terminaciones vemos que:
Cuando y>2 |
15y termina |
5y termina |
La suma termina |
Impar |
375 |
125 |
500 (2 ceros) |
Par |
625 |
625 |
350 (1 cero) |
Es así porque 375 x 15 termina en 625 y 125 x 5 termina en 625
minetras que 625 x 15 termina en 375 y 625 x 5 en 125
Luego la igualdad (I) no se cumple para y>2: Primer miembro 2 ceros, segundo
miembro 1 cero (225+25=250).
Como consecuencia, la ecuación planteada sólo puede
cumplirse para y<=2, concretamente para (1,0) y (2,1).
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