JUEGOS DE INGENIO DEL CLUB MENSA
SOLUCIONES 021 a 025
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Solución
021: Uno de genética.
Por: Josep María Albaigès |
Aunque no se dice en el enunciado, supondremos
que cada tipo de planta se reproduce sin aumentar su número
de ejemplares en cada generación, es decir, que su tasa de
crecimiento es cero (este factor tiene bastante importancia, como
veremos).
Las proporciones a1, b1, c1 estarán
sujetas a la ley:
a1 = a0 + 4.b0
b1 = b0/2
c1 = b0/2 + c0
Que podemos escribir matricialmente así:
a1 = 1 ¼ 0 ao
b1 = 0 ½ 0 bo
c1 = 0 ¼ 1 co
Las sucesivas generaciones se obtendrán reiterando el producto
matricial, de manera que vendrán expresadas por las respectivas
filas de la matriz Mn. Fácil es ver que la potencia n-sima
de la matriz tiende a:
1 1,5 0
0 0 0
0 1,5 0
Lo que equivale a decir que, a la larga, los objetivos perseguidos
se alcanzarán solos: la especie Aa desaparecerá, y
sus miembros habrán pasado a engrosar las proporciones de
la AA y la aa.
Sin embargo, podemos introducir en el problema una variación
para hacerlo más emocionante. ¿Qué ocurriría
si las tasas de reproducción fueran distintas de cero? Entonces
las proporciones variarían no solamente por el "efecto Mendel"
sino también por la mayor o menor "fuerza demográfica"
de cada especie. La fórmula sería ahora:
kAA kAa/4 0
M' ?= 0 kAa/2 0
0 kAa/4 kaa
Examinando el comportamiento de las potencias de esa matriz, se
observa que si la especie B tiene una tasa de reproducción
del 300 % en cada generación (kAa = 3) se compensan los efectos
antes citados, y las proporciones de las tres especies permanecen
constantes. Para valores mayores (o menores de las especies AA y
aa), la variación es todavía más rápida.
Observemos que esto no es más que la traducción matemática
de la ley de la adaptación al medio: si la especie Aa se
adapta mejor al medio que las originarias AA y aa, esto se traducirá
en una mayor tasa de reproducción, lo que podrá compensar
la ventaja inicial de aquéllas y aun eliminarlas.
De todos modos, lo contrario será lo más frecuente:
la especie Aa desaparecerá en pocas generaciones. No olvidemos
que la inmensa myoría de las mutaciones o cruces anómales
que la naturaleza produce se autoeliminan al revelarse menos eficaces
en su capacidad de adaptación al medio.
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Solución
022: El método de la martingala.
Por: Josep María Albaigès |
El peligro está en la longitud
de esas rachas, que puede ser suficiente para hacer saltar mi banca,
que no es infinita. Y esto ocurrirá con una frecuencia tal,
que destruirá todas las ganacias atesoradas trabajosamente
hasta aquel momento peseta a peseta.
Es fácil simular informáticamente el procedimiento.
Supongamos que se empieza con una banca propia inicial de 1.000
Pta. Esta banca puede resistir rachas de hasta unos diez negros
seguidos (la probabilidad de una racha tal es 1/210 = 1/1.024),
pero en cuanto se produzca una de éstas, todo el beneficio
se esfuma.
Efectuada la simulación informática (método
de Monte-Carlo), se observa que mi banca saltará más
a menudo cuanto más veces juegue. Por ejemplo:
Si juego 100 veces, nunca pierdo mi banca.
Si juego 1.000 veces, mi banca salta 250 veces (25 %).
Si juego 10.000 veces, mi banca salta 7.500 veces (75 %)
Resulta, pues, que me conviene jugar pocas veces. Pero incluso en
el primer caso, en tres ocasiones me retiro con bancas inferiores
a 1.000 Pta, es decir, con pérdidas. Éstas compensan,
en el conjunto, las ganancias, como era de esperar estadísticamente.
Observemos que el juego equivale a arriesgar grandes cantidades
con una probabilidad de pérdida pequeña, pero ganancias
también reducidas. Equivale a jugarse varias veces 1.000
Pta contra una con una probabilidad de ganar de 0,999. Puede presumirse
que, jugando unas pocas veces, ganaremos, pero no sin haber puesto
en juego nuestro patrimonio. En cuanto el número de veces
que jugamos aumenta, por la ley de los grandes números acabaremos
perdiendo.
Existen versiones atenuadas de la martingala, basadas en progresiones
más lentas que la geométrica a que equivale el doblado
de la apuesta en cada ocasión. Pero en todas se cumple fatalmente
la misma ley estaística: las pérdidas se equilibran
a la larga con las ganancias.
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Solución
023: La pirámide albanesa.
Por: Josep María Albaigès. |
El tema de la pirámide es muy sencillo
de montar. Se prometen a los impositores fabulosos intereses, y
éstos se pagan efectivamente al principio, con lo que aparecen
más inversores en progresión geométrica. ¿Cuál
es el secreto? Muy sencillo: los intereses se pagan no por los resultados
de hábil gestión del capital depositado, sino con
cargo a este mismo capital. En cuanto flaquea la llegada de éste
cunde el pánico y se produce la bancarrota.
Suponiendo que las aportaciones fueran constantes, los intereses
pagados tienden a igualarse asintóticamente a la llegada
de nuevo capital. Veámoslo en esta tabla:
Mes |
Impos. |
Interés |
Saldo |
1 |
100 |
0 |
100 |
2 |
100 |
30 |
170 |
3 |
100 |
51 |
219 |
4 |
100 |
66 |
253 |
5 |
100 |
76 |
277 |
6 |
100 |
83 |
294 |
7 |
100 |
88 |
206 |
8 |
100 |
92 |
314 |
9 |
100 |
94 |
320 |
10 |
100 |
96 |
324 |
11 |
100 |
97 |
327 |
12 |
100 |
98 |
329 |
Puede verse lo que ocurre con los fabulosos intereses del 30% mensual
prometidos a los albaneses: con una aportación constante
de 100 unidades monetarias mensuales, a los pocos meses hay que
invertirla prácticamente toda en pagar intereses. Si las
aportaciones crecen en progresión geométrica, el tiempo
de ilusión podrá durar algo más, pero más
dura será la caída, que podrá llevarse, como
ha sucedido en Albania, todos los ahorros nacionales.
El timo se repite periódicamente, y nadie escarmienta. Ya
en el siglo pasado Baldomera Larra, hija del famoso escritor, protagonizó
en España un gran escándalo de este tipo. Doña
Baldomera, como antaño su padre, acabó diciéndoles
a los inversores que venían a cobrar sus intereses: "Vuelva
usted mañana". En 1984 doña Branca dos Santos, la
banquera del pueblo portuguesa, montó algo parecido, y llegó
a tener 15.000 inversores, a quienes cedía un "modesto" 10
% mensual. Más tarde, a la caída de Ceausescu, Ion
Stoica ideó algo parecido en Rumania, aunque más a
lo grande: en sólo tres meses la cantidad recogida era ocho
veces superior a la depositada (¡un rendimiento del 100 %
mensual!). El resultado de estas promesas ha sido siempre el mismo:
llanto y crujir de dientes.
Nota del editor: Do you want make money fast? ¿A
alguien le suena el estribillo?
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Solución
024: La energía de un choque.
Por: Josep María Albaigès. |
Tras el choque, los dos coches no quedan
inmóviles con respecto al nuevo sistema de referencia, sino
que queda el conjunto de ellos desplazándose a una velocidad
v. La energía residual, no consumida en el choque
es:
E' = (2m)v² / 2 = mv²
Que restada del valor inicial nos restablece el mismo balance.
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Solución
025: Un problema muy clásico.
Por: Josep María Albaigès. |
Una solución casi obvia es:
- 1 - 2 - 3 - 4 - 5 + 6 - 7 + 8 + 9
Pero en total hay 23 soluciones:
1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1
2 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1
3 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1
4 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1
5 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1
6 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1
7 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1
8 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1
9 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1
10 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1
11 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1
12 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 1
13 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1
14 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1
15 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1
16 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1
17 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1
18 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1
19 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
20 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1
21 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1
22 1 1 1 1 -1 1 1 -1 -1
23 1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1
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