JUEGOS DE INGENIO DEL CLUB MENSA
(ENUNCIADOS 141 a 145) |
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| Enunciado 141: Siete primos equidistantes.
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En toda sucesión
del tipo a + kb (a primo con b; k=1,2,3,…) se hallan infinitos
primos. Pero, claro, la mayoría de los términos
de la sucesión son compuestos. Se nos ocurre preguntar
si existirán largas series de primos consecutivos correspondientes
a valores consecutivos de k. En otras palabras, primos consecutivos
situados en progresión aritmética.
Para valores bajos la respuesta es obvia. Por ejemplo, una primera
serie para k = (1,2,3) es 3,5,7. Los tres son primos. Para k=(1,2,3,4,5)
aparece a primera vista otra sucesión próxima: 5,11,17,23,29,
pero éstos no son primos consecutivos.Las
series van escaseando a medida que aumenta k.
Hasta hace poco el récord estaba en k=(1,2,3,4,5,6) y fue
hallada por Lander y Parkin. Recientemente Harvey Dubner ha hallado
una mamotrética sucesión para k=(1,2,3,4,5,6,7).
Los detalles del hallazgo pueden verse en la dirección
electrónica
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Mathematical_games.html.
Es fácil probar que la diferencia menor posible
es 210. El problema realmente se descompone en otros dos:
-
Hallar 7
primos con la diferencia común 210.
-
Hallar 1254
números entre el primero y el último primo tales que sean
todos compuestos excepto los indicados situados en el intervalo.
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| Autor: |
Josep María Albaigès. |
| Publicado en: |
CARROLLIA-55. Diciembre de 1997 |
| Dificultad: |
**** |
| Solución: |
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| Enunciado 142: El dado casquivano.
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Lanzamos un dado y nos preguntamos por
la probabilidad de que, antes de salir el 6, hayan salido todos
los números 1, 2, 3, 4 y 5 en cualquier orden, con o sin
repetición, es decir, una secuencia como ésta: 334511126
sería favorable
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| Autor: |
Mariano Nieto. |
| Publicado en: |
CARROLLIA-57. Junio de 1998. |
| Dificultad: |
*** |
| Solución: |
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| Enunciado 143: Números ordenados en la Lotería Primitiva.
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En los sorteos de la
lotería primitiva los seis números no salen del bombo en
general por orden, pero ordenados nos los presentan en la TV y la prensa.
¿Es posible que en alguna ocasión hayan salido precisamente
por el orden en que son expuestos?
[Nota:
La Lotería Primitiva o Lotto, consiste en la extracción de
seis números de un bombo que contiene 49 bolas, numeradas sucesivamente
del 1 al 49]
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| Autor: |
Josep María Albaigés. |
| Publicado en: |
CARROLLIA-57. Junio de 1998. |
| Dificultad: |
** |
| Solución: |
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| Enunciado 144: Dígitos repetidos en la sucesión de potencias de 2. |
Considerar
la sucesión de la forma 2n para n=0,1,2,3,..., es decir:
1, 2, 4, 8 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, etc. Si miramos al
primer dígito de la izquierda de los números que
aparecen en esa sucesión veremos que el 7 aparece por primera
vez para n=46 (246 =70368744177664), mientras que para entonces
el 8 ya ha aparecido varias veces.
¿Significa eso que el 8 aparecerá a la larga con
más frecuencia que el 7 como dígito de la izquierda
de 2n?
La sorprendente respuesta es que no, de hecho a la larga el 7
aparece con una frecuencia algo superior a la del 8. El problema
que propongo consiste en averiguar con qué frecuencia relativa
aparece exactamente cada uno de los dígitos 1 a 9 a la
izquierda del número 2n.
Como pista diré que si t es un número irracional,
entonces la sucesión t, 2 t, 3 t,..., n t,... está
uniformemente distribuida módulo 1, es decir, las partes
decimales de esos números caen en cada subintervalo de
[0,1) con una frecuencia relativa proporcional a la longitud
del subintervalo. También se sabe que el logaritmo decimal
de 2 es irracional, y por tanto... ya no digo más.
Los resultados se pueden extender fácilmente
a sucesiones cualesquiera de la forma an (siempre que log a sea irracional),
y a bases distintas de la decimal. Por último estúdiese qué
pasa con bloques de dígitos, por ejemplo, ¿con qué
frecuencia relativa aparece el bloque 10298 a la izquierda del número
2n? Dicho de otra manera, si entre los números 1, 2, 4, 8,..., 2N,
hay F(N) que empiezan por 10298..., ¿a qué valor tiende F(N)/N
cuando N tiende a infinito?
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| Autor: |
Miguel Angel Lerma. |
| Publicado
en: |
CARROLLIA-58. Septiembre de 1998. |
| Dificultad: |
**** |
| Solución: |
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| Enunciado 145: El Nim |
El último ejemplar
del American Mathematical Monthly describe un interesante juego
inspirado en el Nim. En forma algo simplificada consiste en lo siguiente.
Se apilan una serie de fichas en varios montones dispuestos en una hilera
de izquierda a derecha. A continuación dos jugadores, por
turno, eligen un montón, toman de él entre una y tres fichas,
y añaden las fichas que quieran (o posiblemente ninguna) en los
montones que deseen de entre los situados a la derecha del montón
elegido. Por ejemplo, supongamos que inicialmente hay
cuatro montones con 5, 3, 6 y 2 fichas respectivamente, contadas de izquierda
a derecha. Una jugada podría consistir, digamos, en tomar dos fichas
del segundo montón y añadir 24 fichas al tercero y un trillón
de fichas al cuarto montón, con locual los montones pasarían
a tener 5, 1, 30 y 1 trillón 2 fichas respectivamente. Suponemos
que el número de fichas disponible es ilimitado, de modo que siempre
es posible poner más fichas en un montón si se desea. Gana
el jugador que toma la última ficha.
1. Es obvio que (mientras
haya al menos dos columnas de fichas) cualquiera de los jugadores puede
prolongar el juego tanto como quiera. Si uno de los jugadores quiere que
el juego se prolongue al menos un millón de jugadas le bastara añadir
tres millones de fichas en cualquiera de los montones disponibles. Pero
¿es posible prolongarlo indefinidamente? ¿Es
posible jugar de modo que el juego dure para siempre y no termine nunca?
La sorprendente respuesta es que no: el juego puede prolongarse tanto
como se quiera, pero no hasta el infinito. El juego tiene que terminar
tras un número arbitrariamente grande, pero finito de jugadas.
Demuéstrese.
2. Puesto que el juego
es finito debe de haber una estrategia ganadora para alguno de los jugadores;
es decir, uno de los jugadores puede jugar de una manera tal que se asegure
la victoria. Describir dicha estrategia ganadora.
3. La generalización
consistente en tomar entre 1 y K fichas en vez de entre 1 y 3 es inmediata,
pero supongamos ahora que los jugadores pueden tomar tantas fichas como
quieran de la columna elegida, sin limite preestablecido. Obviamente el
juego aún será finito, pero ¿en qué cambian
las conclusiones anteriores sobre la posibilidad de prolongar el juego
indefinidamente? ¿Cuál es la nueva estrategia ganadora?
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| Autor: |
Miguel Angel Lerma. |
| Publicado en: |
CARROLLIA-60. Marzo de 1999. |
| Dificultad: |
**** |
| Solución: |
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