JUEGOS DE INGENIO DEL CLUB MENSA
SOLUCIONES 031 a 035
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Solución
031: ¿Cómo cortar el queso?
Por: Josep María Albaigès. |
Para n=2 ó n=3 las soluciones con
triviales: el corte se hará según un diámetro
en el primer caso, y según tres sectores de 120 grados en
el segundo.
Pero para n=4 la cosa comienza ya a complicarse. Pues un corte según
cuatro sectores de noventa grados arrojaría una longitud
de corte L=4, mientras que en el sistema indicado en la figura de
la izquierda basta con L=3,9624.
Esta división se ha obtenido recordando la conocida propiedad
de que el punto situado en el interior de un triángulo cuya
suma de distancias a los tres vértices es mínima es
el que ve estos bajo ángulos de 120 grados. Sin embargo,
todavía puede mejorarse: intuitivamente se comprende que,
al no ser los segmentos rectos incidentes sobre la circunferencia
perpendiculares a ésta podrían ser sustituídos
por arcos de circunferencia que cumplieran con esta condición.
Se mejora todavía algo, llegando a la figura de la derecha
donde L=3,9412.
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Solución
032: ¿Discriminación?
Por: Andrés García Parrilla. |
Ambas entidades pueden tener razón
porque más importantes que los promedios en sí mismos
son las cantidades que dieron origen a esos promedios. Para ilustrarlo,
lo mejor un ejemplo. En el departamento A se contrataron 4 de las
8 mujeres presentadas y 32 de los 80 hombres presentados. En el
departamento B se contrataron 10 de las 40 mujeres presentadas y
4 de los 20 hombres.
Estos datos conducen a un 50% y un 40% de contratación para
mujeres y hombres en el departamento A, y un 25% y un 20% respectivamente,
para el departamento B. En conjunto, la empresa ha contratado a
14 de las 48 mujeres (29,1%) y a 36 de los 100 hombres con lo que
vemos que ambas afirmaciones eran ciertas.
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Solución
033: Otra de naipes.
Por: Andrés García Parrilla. |
Para explicarlo voy a suponer que sólo
tengo las 10 cartas de un palo. La solución es fácilmente
generalizable a cualquier número de cartas.
Pensemos en que tenemos diez lugares en los que debemos ir colocando
la carta adecuada. Es evidente que que los lugares primero, tercero,
quinto, séptimo y noveno deberán estar ocupados por
el As, 2, 3, 4 y 5. Una vez colocada la primera carta, el proceso
que se ha seguido consiste en dejar un hueco y colocar la siguiente
carta. Este es el proceso que deberemos aplicar hasta el final,
pasar por alto un hueco y colocar la carta en el hueco siguiente.
Por hueco entiendo cada uno de los lugares iniciales que aún
están libres.
Una vez colocado el 5 en el noveno lugar dejamos pasar el hueco
décimo y ponemos el 6 en el siguiente hueco que es el segundo.
Dejamos pasar el cuarto y colocamos el 7 en el sexto. Saltamos el
octavo y ponemos la sota en el décimo y finalmente ponemos
en rey en el cuarto.
Las cartas de arriba a abajo, quedarían colocadas del siguiente
modo: As, 6, 2, Rey, 3, 7, 4, Caballo, 5, Sota.
Este procedimiento es extrapolable a cualquier número de
cartas y generalizable para cualquier relación cartas vueltas/
cartas puestas.
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Solución
034: Uno de cinemática.
Por: Josep María Albaigès. |
Para este problema se han recibido soluciones
basadas en álgebra, pero resultan algo largas. Puede ser
una buena ocasión para recordar el teorema de las esferas
isocronas, tan útil en casos como éste, y que
parece algo olvidado. Como es fácil comprobar, un móvil
partiendo mediante un plano inclinado del polo N de una esfera alcanza
cualquier punto de ésta en el mismo tiempo t = 2(R/g)½.
En el caso precedente, las dos esferas centradas en Oa y Ob deberán
tener el mismo radio. La condición de tiempo mínimo
exige que sean tangentes, así que dicho radio será
la mitad de la distancia AB, igual, por paralelismo, a la OaOb.
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Solución
035: Ecuación diofántica
Por: Antonio Cebrián Gil. |
Haciendo:
x = 3a ; y = 3b ; z =3c ; t = 3d
resulta que:
33a + 35b + 37c = 38d
Si hacemos:
3a = 5b = 7c; 3.3^a = 3^8d;
3a + 1 = 8d
5b + 1 = 8d
7c + 1 = 8d
Se tiene que cumplir que 3.5.7.m + 1 = 8d
Resolviendo esta última ecuación resulta que m = 7,
d = 92. De aquí que
a = 5.7.7. = 245; b = 3.7.7 = 147; z = 3.5.7 = 105
Una solución sería:
x = 3245 ; y = 3147 ; z = 3105 ; t = 392
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