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JUEGOS DE INGENIO DEL CLUB MENSA
SOLUCIONES 051 a 055 |
| Solución
051: Asella Por: Antonio Casao. |
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Una borriquilla acompañada por
un mulo transportaba una carga de vino Abrumada por el peso,
se quejaba amargamente: El mulo puso fin entonces a sus quejas
diciendo: ¿Qué tienes para quejarte como una
niña a su madre? Si tomara una de tus medidas, mi
carga sería doble que la tuya; pero si tú tomaras
una de las mías, aún tendría yo tanta como
tú. Dime, sabio matemático, ¿Cuántas
medidas llevaba cada uno de ellos? Llamando b a la carga de la borrica y m a la del mulo, nos queda un sencillo sistema de ecuaciones: m + 1 = 2 (b -1) b+1 = m -1 De las que se deduce que b = 5 ; m = 7. Nota compilatoris ad latinitatem: Asella quinque mensuras portabat ac mullus septem |
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| Solución
052: Uno envenenado de geometría. Por: Miguel Angel Lerma. |
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La respuesta es que es posible. La demostración
requiere algunas ideas felices. El problema consiste en demostrar
que dados tres puntos A,B y C cualesquiera,
en el plano, no situados en línea recta y a distancias racionales
entre ellos, simepre se puede hallar otro punto en el plano también
a distancia racional de cada uno de los puntos dados y no alineado
con ningún par de ellos. La solución exige examinar
dos casos:
y a = BC son distintos. Fácilmente se comprueba que p=(c2+b2-a2)/2c y por tanto es racional. Tomando p' = c-p obtenemos que el punto D(p',q) es distinto de los otros, no está alineado con ningún par de ellos, y está a distancias racionales de ellos: DA=a, BD=b, DC=|p-p'|. |
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| Solución
053: Paradoja mecánica. Por: Miguel Angel Lerma. |
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Hace tiempo que me planteé esta
clase de paradojas. Por ejemplo, imaginemos un marinero apoyado
en la pared de su barco,presionando en la dirección de movimiento
de la nave. Respecto al barco, la fuerza se ejerce sobre un objeto
inmóvil, y por tanto no produce ningún trabajo. Sin
embargo, respecto al mar el objeto empujado se mueve a la velocidad
del barco, y por tanto la fuerza sí produce un trabajo. La
solución a esta aparente contradicción en el balance
de energía consiste en aplicar el tercer principio de Newton.
El marinero, por reacción, estará empujando el suelo
del barco con sus pies con una fuerza igual pero de sentido contrario.
Esta nueva fuerza ejerce un trabajo negativo que, sumado al de la
primera, da un balance energético nulo en cualquier sistema
de referencia. Vamos ahora con la solución a la paradoja de la vagoneta. Al lanzar hacia adelante un objeto de masa m y velocidad v se le comunica una energía cinética mv2/2. Si esto se hace desde una vagoneta que se mueve a velocidad V, la energía cinética que se debe suministrar es m(V+v)2/2-mV2/2 = mVv+mv2/2. Si el lanzador sólo pone mv2/2 ¿quién pone la energía restante? Nuevamente el tercer principio de Newton viene en auxilio nuestro. La fuerza de reacción del lanzador empujará la vagoneta hacia atrás, y para que ésta conserve su velocidad necesitará un motor que empuje en ese momento hacia adelante. Ese empuje extra suministra la diferencia de energía. Aún es posible alegar que el mismo empuje sería necesario aunque la vagoneta estuviera en reposo, a pesar de que en tal caso la energía mVv suministrada por la vagoneta sería nula. Sin embargo, esta paradoja se reduce a la primera que mencioné, sobre el balance de trabajo ejercido por fuerzas en distintos sistemas de referencia, y su solución es análoga. |
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| Solución
054: Otra ecuación de números enteros. Por: Antonio Cebrián. |
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Partiendo de la identidad: (-a+b+c)3
+ (a-b+c)3 + (a+b-c)3 + 24abc = (a+b+c)3
Si hacemos a = m3 ; b=n3 ; c =9g3 , las soluciones son: x = -m3+n3-9g3; r=6mng; t=m3+n3+9g3 Ejemplo m=2; n=1; g=1; x=2; y=16; z=0; r=12; t=18 23 + 163+ 123 = 183 |
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| Solución
055: Sucesión misteriosa. Por: Antonio Cebrián Gil |
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Ley de sucesión: Observamos
que a partir de n=2 si n es primo y ocupa el lugar p
en la sucesión de los números primos a an
se le asigna una potencia de 10. Así an=10p-2.
El resto de los números los descomponemos en factores primos y a cada número le asignamos la suma de los productos de cada exponente por la potencia de diez que le corresponde según sus factores primos. Por ejemplo, si n=axby corresponderá an=x.10h-2+y.10k-2 Siendo h y k los lugares que ocupan a y b, respectivamente en la sucesión de los números primos. Segunda parte del problema: Para que n sea mínimo, en la ecuación anterior elevaremos a 10 a los menores exponentes 0 y 1. Así tendremos: an = x.100+ y.101; am = r.100+s.101 x + 10y = r +10s; x - r = 10 (s - r ) [*] Para que se cumpla esta última igualdad x tiene que valer como mínimo 10, ya que el segundo miembro es múltiplo de 10. Por tanto, x=10 ; y=0 ; r=0 ; s = 1 ... an = 10.100 =10. Como a 100 =102-2 le corresponde el número primo : 2, entonces n=100 =1024 ; a1024 = 10 Por otra parte, como s=1 , r = 0 ... am = 10, m =31 = 3. n=210 es el valor mínimo, porque si n tuviera otros factores en [*] entonces y valdría como mínimo 2... s=2; x=10; r=0 y n= 210 .31 > 210 . Por todo ello el valor mínimo de n es 1024. |
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