JUEGOS DE INGENIO DEL CLUB MENSA
SOLUCIONES 056 a 060
Solución 056: Criptosuma.
Por: Therese Moodie-Bloom.
1 + 8 + 9 + 7 = 25
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Solución 057: Permutaciones que generan números congruentes.
Por: Miguel Angel Lerma.
Una cosa es inmediata: si la permutación es a(1),a(2),...,a(m-1), entonces x = a(1) mod m, y por lo tanto para k=1,...,m-1 se verifica a(k) = a(1)k mod m. Cualquier x que sea congruente con a(1) modulo m resuelve el problema siempre que la permutación sea "apropiada". Lo que falta por determinar es para qué valores de m y para qué permutaciones hay solución. Como la permutación está determinada por el primer elemento a(1), la pregunta puede reformularse como :

"¿Para qué valores de 'm' y de 'a' (1 <= a <= m-1) se verifica que ak mod m (k=1,...,m-1) genera el conjunto de elementos 1,2,...,m-1 (en otro orden)?"

Lo primero que observamos es que 'a' y 'm' tienen que ser primos entre sí, de otro modo sería imposible obtener ak = 1 mod m para algún k. Pero si 'a' y 'm' son primos entre sí, entonces eso es también cierto para ak y 'm' (k=1,...,m-1). De aquí se deduce que 'm' tiene que ser primo. Cuando 'm' es primo siempre hay algún 'a' que resuelve el problema, desafortunadamente no hay un método simple para hallar tal 'a', lo único que podemos hacer es tantear. Sin embargo, una vez hallado un tal 'a' (incidentalmente, llamado "raíz primitiva de m"), se puede probar que otro posible valor de a(1) (otra raíz primitiva de m, donde 'm' se supone que es primo) es cualquier at mod m donde t es primo con m-1. Como consecuencia, hay phi(m-1) posibles permutaciones de 1,...,m-1 de la forma ak mod m (k=1,...,m-1), donde phi es la funcion de Euler. Sobre el aspecto de dichas permutaciones poco puede decirse a priori, salvo que el pequeño teorema de Fermat implica que el ultimo elemento tiene que ser siempre 1.

En el caso m=5, la mínima raíz primitiva de 5 es 2, y la permutación que obtenemos es :
2k mod 5 = 2, 4, 3, 1. Las otras raices primitivas de 5 son de la forma 2t mod 5, con mcd(t,4) = 1, por tanto otra posibilidad es 23 mod 5 = 3, que genera la permutacion 3k mod 5 = 3, 4, 2, 1.

Como ilustración resuelvo tambien el caso m=7. Las raíces primitivas de 7 son 3 y 5, que generan respectivamente 3k mod 7 = 3, 2, 6, 4, 5, 1, y 5k mod 7 = 5, 4, 6, 2, 3, 1.

Para m=97 tendríamos phi(97-1) = 32 raices primitivas (la mas pequeña es 5), y otras tantas permutaciones. Una de ellas es 5k mod 97 = 5, 25, 28, 43, 21,..., 39, 1.

GENERALIZACION:

Una generalización Todos los enunciados sería hallar un 'a' (1 <= a <= m-1) tal que ak mod m genera todos los números entre 1 y 'm' que son primos con 'm' (aquí no se exige que 'm' sea primo). Por ejemplo, si m=18, entonce a=5 resuelve el problema, porque 5k para k=1,2,3,5,6 genera los numeros (5,7,17,13,11,1), que son todos los primos con 18 entre 1 y 18. Un elemento 'a' con esta propiedad se dice que es una "raíz primitiva de m". Algunos resultados conocidos son los siguientes:

1. 'a' es una raíz primitiva de 'm' si y solo si mcd(a,m) = 1, aphi(m) = 1 mod m, y ak <> 1 mod m para k=1,...,phi(m).

('<>' significa "distinto").

2. Si 'a' es una raíz primitiva de 'm', entonces ak mod m es también una raíz primitiva de 'm' si y solo si mcd(k,phi(m)) = 1. Como consecuencia, si m tiene una raíz primitiva, entonces tiene phi(phi(m)) de ellas.

3. Un entero m > 1 tiene una raíz primitiva si y solo si

m = 2, 4, pk, 2pk

donde p es un primo impar.

NOTA: La función phi(m) = número de enteros entre 1 y m que son primos con m, se llama función de Euler, y se puede calcular fácilmente cuando se conoce la descomposición factorial de m, puesto que se sabe que phi(m*n) = phi(m)*phi(n) cuando m y n son primos entre si, y si p es primo y k >= 1 entonces phi(pk) = pk*(1-1/p).
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Solución 058: Las quinielas de la Escuela de Caminos.
Por: Josep María Albaigès.
Que el proceder de nuestro profesor era injusto es casi evidente. Si un estudiante conoce x preguntas y cumplimenta al azar las restantes, su puntuación extra será, por término medio, igual a: x' = (400 - x)/4

Y su puntuación total: A = x + x' = x + (400 - x)/4 = 100 + 3x/4

Al quitar 100 puntos de este resultado, la puntuación expurgada queda en A' = 3x/4. Según el método de nuestro profesor, un estudiante necesitaba, para aprobar, que 3x/4 = 300 o sea x=267 respuestas conocidas.

Una primera aproximación a la justicia hubiera sido suprimir sólo las respuestas acertadas al azar, que no son 100 sino sólo (400-x)/4. Fácilmente se halla que esto equivale a transformar el valor obtendio A (el que conoce el profesor) en: A' = 4(A-100)/3

Es decir, tras restar 100 de A, tomar los 4/3 del valor resultante. Sólo así se garantiza que, por término medio, cada estudiante reciba la puntuación que se merece.

Pero esto es insuficiente, pues, ¿quién garantiza que un estudiante va a obtener, por efecto del azar, (400-x)/4 aciertos suplementarios? Pudiera ocurrir que fueran menos, con lo que sería suspendido por culapa del azar. La expurgación del profesor nos obligaba a participar en un juego en el que el premio o castigo era nuestra propia nota.

La clave para resolver el problema está en que, si el valor medio de los aciertos es m = (400-x)/4, la desviación típica de este valor vale:

s = (npq)1/2 = [(400-x).1/4.3/4]1/2 = 1/4.[3(400-x)]1/2

La distribución binaria de las puntuaciones extra puede considerarse asintóticamente normal, con lo que en un 95% de los casos quedarán por encima de:

E >= (400-x)/4 - k/4.[3(400-x)]1/2

Siendo k el valor en las tablas de la función normal para el que ésta toma el valor 0.95, es decir, k=1,6449.

Este es, por tanto, el valor que el profesor debería haber expurgado con una actitud "suave" (estar seguro de que no más de un 5% de los estudiantes serían suspendidos injustamente). En la acctitud "rigurosa" (estar seguro de que no más de un 5% aprueban injustamente), la fórmula sería la misma pero sumando el segundo término de la expresión.

Para poner A' en función de A, que es el valor conocido por el profesor, éste debría resolver la ecuación:

A = x + E

Con lo que hallaría A' = f(A). El desarrollo es unpoco tedioso, una aproximación numérica mediante ordenador, nos indica que en la variante "suave", el alumno aprueba con 245 aciertos y ls "rigurosa" con 260 (¡siempre menos que los que exigía nuestro hueso!).
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Solución 059: Ecuación simétrica.
Por: Antonio Cebrián.
Haciendo y=a.x :

(xa)x = (ax)x

Siendo x,y,a positivos -> xa = ax; a = xa-1; x = a1/(a-1)

Haciendo 1/(a-1) = t (entero), entonces a=(1+t)/t

x=[(1+t)/t]t ; y = a.x = [(1+t)/t]1+t

Si t=2; x=9/4; y=27/8
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Solución 060: Sucesiones numéricas Alla Ungara.
Por: Tibor Takács
A - Son la última cifra de los cubos de cada una de los primeros nueve naturales (1, 8 , 27, 64 ...)

B- Están ordenados alfabéticamente por su nombre en castellano.

C- Reescríbase la serie en grupos de dos cifras: 10, 13, 16, ... El siguiente término es 134
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