JUEGOS DE INGENIO DEL CLUB MENSA
SOLUCIONES 066 a 070
Solución 066: Los extraterrestres
Por: Dana Scully
Los dos primeros alienígenas decían la verdad. Los extraterrestres empleaban la base 9.
Ver Enunciado de este problema
Este espacio ha sido dejado en blanco a propósito, para no descubrir accidentalmente la próxima solución. 
Solución 067: Números triangulares que son cuadrados perfectos.
Por: Antonio Cebrián
Tomamos como punto de partida los primeros números que son triangulares y cuadrados perfectos: 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900 y formamos la tabla:

t n K2 K x1 = Kt / Kt-1 x2 = Kt-1/Kt x1+x2
1 1 1 1      
2 8 36 6 6,0000000 0,1666666 6,1666666
3 49 1225 35 5,8333333 0,1714285 6,0047618
4 288 41616 204 5,8285714 0,1715686 6,0001400
6 1681 1413721 1189 5,8284313 0,1715727 6,0000040
7 9800 48024900 6930 5,8284272 0,1715728 6,0000000

La columna x1 la obtenemos dividiendo cada término de K por su anterior, la columna x2 la obtenemos dividiendo cada término de K por su posterior.
Si tenemos la sucesión de K suficientemente avanzada el cociente Kt/Kt-1 converge a x1 y el cociente Kt-1/Kt converge a x2 y x1+x2 converge a 6, es decir x1 y x2 son soluciones de la ecuación:

(x - Kt/Kt-1) ( x - Kt-1/Kt) = 0

Operando resulta:

x2 - 6x + 1 = 0; x1 = 3 + 2x21/2, x2 = 3 - 2x21/2

Luego cada término de la sucesión K es un combinación lineal de las potencias de (3 + 2x21/2) y (3 - 2x21/2 ).
( 3 + 2x21/2 ) z + ( 3 - 2x21/2 ) y = 1

( 3 + 2x21/2 )2 z + ( 3 - 2x21/2 )2 y = 6
Resolviendo el sistema z = 21/2/8 , y = - 21/2/8

El término t-simo de la sucesión K sería ( (3 + 2x21/2)t - (3 - 2x21/2 )t ) 21/2 / 8
K2 = ((17 + 12 21/2)t + (17 - 12 21/2)t - 2) /32
Dando valores a "t" esta expresión genera números triangulares que son cuadrados perefectos.
Ver Enunciado de este problema
Este espacio ha sido dejado en blanco a propósito, para no descubrir accidentalmente la próxima solución. 
Solución 068: El gato de Cheshire
Por: Josep María Albaigès.
Muchos buenos matemáticos incurrieron en el error de intentar resolver este problema sobre la base de que hay 24 puntos de partida y el mismo número de finales. Supusieron que el cuadrado de 24, es decir, 576, era el núemro de posibilidades. Pasaron por alto las rutas laterales que ofrecen 252 maneras de llegar al centro C, y como hay igual número de maneras de regresar a las W, el cuadrado de 252 es la respuesta correcta: hay 63.504 maneras diferentes.
Ver Enunciado de este problema
Este espacio ha sido dejado en blanco a propósito, para no descubrir accidentalmente la próxima solución. 
Solución 069: El problema del borracho.
Por: Josep María Albaigès.
Estudiemos primero el problema en su forma unidimensional, es decir, con los pasos del borracho sólo hacia este u oeste. Siendo la probabilidad de cada paso 1/2, fácil es ver que la distribución de la abscisa media de la posición final tras n pasos es de tipo binomial, con una media: xm = (1/2) x 1 + (1/2) x (-1) = 0 Y una desviación típica s2 = n[(1/2)x12 + (1/2)x(-1)2] = n s  = n1/2 Esta distribución, en el límite, se asemeja a una normal de los mismos parámetros.

Pero no es la abscisa de la posición final lo que cuenta sino la distancia. Esta se averigua muy sencillamente considerando la distribución de los valores absolutos de x, que equivale a la de la mitad derecha de la curva de Gauss con las ordenadas multiplicadas por 2. La media de esta distribución será:
d = 1/(2 P)1/2 x exp(-x2/2) dx = 1/(2/P)1/2
Resulta finalmente que:

d = s (2/P)1/2 = (2n/P)1/2

Este valor es confirmado experimentalmente efectuando una simulación de paseos de este tipo mediante ordenador.

Pasemos ahora la caso bidimensional. Tanto la abscisa x como la ordenada y estarán sometidas a distribucoines del tipo antes mencionado, debiendo en este caso estudiarse el valor medio de

Este valor se calculará extendiendo las funciones de densidad de (x,y) al recinto formado por el círculo
x2 +y2 <= r2, o sea:
p = prob[x2 +y2 <= r2] = [1/(2 P)1/2 ] x exp(-x2/2) dx [1/(2 P)1/2 ] y exp(-y2/2) dy
Siendo R el recinto indicado. Esta integral doble puede resolverse fácilmente mediante el paso a coordenadas polares, lo que simplifica la expresión analítica correspondiente. Abreviando, su resultado final es precisamente 1, lo que justifica el valor: dm = n1/2 ligeramente distinto al hallado para el caso unidimensional.
Ver Enunciado de este problema
Este espacio ha sido dejado en blanco a propósito, para no descubrir accidentalmente la próxima solución. 
Solución 070: La palabra oculta
Por: Desconocido
La palabra oculta es PÁLIDO.
Ver Enunciado de este problema
(c) JGA, 1998 Los contenidos son de los autores, Mensa no sostiene ninguna idea Página principal