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JUEGOS DE INGENIO DEL CLUB MENSA
SOLUCIONES 091 a 095 |
| Solución
091: Día de pesca. Por: Mariano Nieto. |
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Los autores (E. Busser y G. Cohen) dan
la siguiente solución: Después de un lunes de sol,
la secuencia [sol + lluvia] para el martes + miércoles, tiene
una probabilidad de 7/64 (7/8 x 1/8). A la secuencia [lluvia + lluvia],
en cambio, le corresponde una probabilidad de 6/64 (1/8 x 6/8).
Hay que apostar, pues, por el buen tiempo. Busser y Cohen parten de dos hechos conocidos: el lunes hizo sol y el miércoles llovió y de ahí infieren, teniendo en cuenta las respectivas probabilidades, que hay que apostar por el martes soleado. Sin embargo, supongamos ahora que, si hoy hace sol, la probabilidad de sol para mañana es de 8/10 y que, si hoy llueve, la probabilidad de lluvia para mañana es de 9/10. En esto caso, siguiendo el mismo razonamiento de B y C, la secuencia [sol + lluvia] después de un día de sol, tiene una probabilidad de 0,8 x 0,2 = 0,16 y la secuencia [lluvia + lluvia] tiene una probabilidad de 0,2 x 0,9 = 0,18, mayor que la anterior, por lo que deberíamos apostar por un martes lluvioso. Esto parece ir contra el sentido común ya que si el lunes fue soleado sabemos que la probabilidad de un martes también soleado, es decir la secuencia [sol + sol] es muy alta (0,8) frente a la de un martes lluvioso (0,2). [En el número 57 de CARROLLIA puede verse un estudio más profundo de las implicaciones de este problema] |
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| Solución
092: El abuelo William y el crack de la bolsa. Por: Javier García Algarra. |
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Llamaremos p1, p2, p3 y p4 a los precios
respectivos y sabemos que p4 = 16. En el enunciado se dice que p4 > 2p1. Por otra parte, sabemos que p1.p4 es igual al cuadrado de p2. p1 sólo puede valer 2, 4 ó 6, porque debe ser par y si vale 8 o más no se cumple la condición p4 > 2.p1 . Entonces p1.p4 puede tomar los valores 32, 64 ó 96. De estos tres valores sólo 64 es un cuadrado, así que p2 = 8 y p1 = 4. Como p2 es la media de p1 y p3, entonces p3 = 12. |
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| Solución
093: Los calcetines de papá hormiga. Por: Anónimo. |
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Tenemos 7 juegos de calcetines de distinto color (por ejemplo
6 rojos, 6 azules, 6 negros... etc..), Para que al menos 4 de 6
sean iguales, tenemos que considerar primero las probabilidades
de tener los 6 calcetines del mismo color, en segundo lugar, 5 iguales
y uno diferente, en tercer lugar , 4 iguales con otros dos del mismo
color (por ejemplo, 4 rojos y dos azules) y, por último
4 iguales y otros dos de diferentes colores (por ejemplo, 4 rojos,
1 azul y 1 rosa). Hay siete posibilidades de que todos los calcetines sean iguales pues hay siete juegos de colores. Hay 7 formas de tener 5 calcetines del mismo color y 6 posibles colores para el calcetín restante. Como el calcetín que no casa puede colocarse en cualquiera de las seis patas, en este caso, hay seis formas posibles de ponerse los calcetines. Por tanto, para este segundo supuesto hay 7 x 6 x 6 = 252 formas de ponerse los calcetines. En el tercer caso, hay 7 posibilidades de elegir 4 calcetines del mismo color , y 6 posibilidades para los dos calcetines restantes, que son del mismo color. Suponiendo que los 6 calcetines fuesen diferentes, habría 6! formas de ponerse los calcetines,pero tenemos que dividir por 4! and 2! puesto que los cuatro calcetines iguales y los dos restantes son indistinguibles por color.. Obtenemos para el tercer supesto (7 x 6 x 6!)/(4! x 2!) = 630 formas. En el último caso hay 7 formas de escoger los cuatro calcetines iguales, 6 posibilidades para elegir el primer calcetín de otro color y 5, para el segundo. En este caso sólo tenemos que dividir por 4!, puesto que los dos calcetines restantes son de distinto color. Por tanto, en el cuarto caso hay 7 x 6 x 5 x (6!/4!) = 6300 formas. Sumando los cuatro supuestos, papá hormiga tiene 7 + 252 + 630 + 6300 = 7189 posibles formas de ponerse los calcetines. |
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| Solución
094: Papá hormiga y el cilindro. Por: Anónimo. |
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Si desarrollamos la superficie del cilindro obtenemos un rectángulo
de 20 cm por 10 x 3.14 cm. La figura representa la situación
. Para resolver este problema hemos de despejar dos incógnitas el ángulo a, que describe la trayectoria de la hormiga y el tiempo t necesario para llegar a la miel. La componente vertical d de la distancia recorrida por la hormiga en el tiempo t, más la distancia que baja la gota de miel suman los 20 cm de altura del cilindro. (2.5 sina x t)+ 1.5t = 20 La componente horizontal es igual a la mitad de la longitud del rectángulo. 2.5 cosa x t = 5 x 3.14 Resoviendo, se obtiene que a = 30.1 grados y t = 7.26 sec. |
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| Solución
095: Papá hormiga y la tela metálica. Por: Anónimo |
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Papá hormiga tiene que dar un total
de 9 +1 2 = 21 pasos (un paso puede ser hacia arriba o hacia la
derecha). La pregunta puede reformularse como cuantas posibilidades hay de colocar 9 piezas negras y 12 blancas en una línea. Con 21 piezas hay 21! posibilidades, pero como hay 12 blancas y nueve negras que no se pueden distinguir hay que dividir por 12! y 9!. La solución es 21!/(12! x 9!) = 293930 |
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