JUEGOS DE INGENIO DEL CLUB MENSA
SOLUCIONES 106 a 110
Solución 106: Los piratas.
Por: Josep María Albaigès
La forma más racional de repartir el tesoro es a partes iguales. A Garfio le es igual pactar con Tuerto que con Patapalo, siempre dejando fuera al tercer socio. Supongamos que está acordando con Tuerto repartir a medias. Patapalo podría reaccionar ofreciéndole, por ejemplo, un 80% y conformándose él con un 20%, lo que dejaría fuera a Tuerto. Para evitarlo, éste puede ofrecer a Patapalo el 25%, dejando fuera a Garfio con todo su gran barco. Las ofertas dos a dos pueden sucederse sin cesar sin alcanzar ningún punto de equilibrio.

Por más vueltas que se le dé, cada uno de los socios es capaz de romper el acuerdo entre los otros dos con ofertas mejores si se presume que va a aquedar fuera de la alianza. Lo más sensato es que, olvidándose de supuestas ventajas, pacten repartir por igual.
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Este espacio ha sido dejado en blanco a propósito, para no descubrir accidentalmente la próxima solución. 
Solución 107: Serie divergente.
Por: Josep María Albaigès
Como se ha establecido en el enunciado:

a1 <=  a2 + a3

a2 <=  a4 + a5
...
Supongamos que la serie es convergente. Como está formada por términos positivos, será absolutamente convergente. Por ello, puedo sumar ordenadamente todas las desigualdades, obteniendo tras simplificar

S  ai <= -a1/2 < 0

Con lo que el problema queda resuelto por reducción al absurdo.
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Solución 108: La red triangular.
Por: Antonio Cebrián.
Trazamos 1,2,3 y 4 paralelas y contamos el número de triángulos.
 


 
 

NÚMERO DE TRIÁNGULOS CON EL VÉRTICE HACIA
ARRIBA (A) EN FUNCIÓN DE LA LONGITUD DE LAS ARISTAS
Número de paralelas 1 2 3 4 5 6 7 8 Total 
0 1 1
1 3 1 4
2 6 3 1 10
3 10 6 3 1 20
4 15 10 6 3 1 35
5 21 15 10 6 3 1 56
6 28 21 15 10 6 3 1 84
7 36 28 21 15 10 6 3 1 120
 

NÚMERO DE TRIÁNGULOS CON EL VÉRTICE HACIA
ABAJO (B) EN FUNCIÓN DE LA LONGITUD DE LAS ARISTAS
Número de paralelas 1 2 3 4 5 6 7 8 Total 
0 0 0
1 1 1
2 3 3
3 6 1 7
4 10 3 13
5 15 6 1 22
6 21 10 3 34
7 28 15 6 1 50
 
 
 
Número Paralelas 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Número Triánguos 1 5 13 27 48 78 118 170 236
 

En la tabla de los triángulos de tipo A, vemos que el número es (n+1)(n+2)/2. El número total de triángulos de tipo A es el sumatorio de esa expresión desde 0 hasta n.

S(i=0,i=n)  (i+1)(i+2)/2 = (n3 + 6n2 + 11n + 6)/6

Para encontrar la fórmula que nos dé el número de triángulos de la forma B (vértice hacia abajo), calcularemos las diferencias sucesivas de cada término de la serie B:
 
 
Diferencias 1 3 7 13 22 34 50 70 95
1ª 2 4 6 9 12 16 20 25
2ª 2 2 3 3 4 4 5
3ª 0 1 0 1 0 1
Diferencia 3ª = (1+(-1)n)/2

Diferencia 2ª = 2 + S(i=0,i=n-1) Diferencia 3ª = (2n+5-(-1)n)/4

Diferencia 1ª = 2 + S(i=0,i=n-1) Diferencia 2ª = (2n2 + 8n+ 7 + (-1)n)/8

Número de triángulos tipo B = 1 + S(i=0,i=n-1) Diferencia 1ª = [(4n3 + 18n2 + 20n +3)/48] - [(-1)n/16]

Con lo que el número total de triángulos (A+B) queda [4n3 + 22n2 +36n + 17 - (-1)n]/16
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Solución 109: La ferretería.
Por: Anónimo.
La mujer está comprando el número de su casa para ponerlo en la puerta. Cada cifra cuesta ochenta maravedíes.
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Solución 110: Los pasteles
Por: Anónimo
Pepito se comió cinco pasteles. La única forma de que cuadren las cuentas es que la cuñada y la nuera de Pepito sean la misma persona. Esto resulta posible si la hermana de la esposa de Pepito está casada con el hijo de ambos.

(¡Esto no pasa ni en los culebrones!. N. del T.)
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